數學公理

以數學獨有的尋根方法去探討每條定理及定義後，不難發現出某些定理及定義均無法證明，對於這些無法證明，大家均認為正確，而又可以用作推理依據的理論，均稱公理。

公理(axiom):不加證明而可作推理依據的真實命題。
定義(definition):用以揭示概念的本質屬性的命題。
定理(theorem):經過証明後方可作為推理依據的真實命題。
推論(corollary):証明某定理後稍加思索便可確定的定理。

作為公理系統要滿足三點要求:
(1) 相容性----即各公理之間不存在互相矛盾的現象。
(2) 獨立性----即要求公理的條數量的少，就是不要有能被其他公理可証明。
(3) 完整性----即由定義和公理組成的公理系統，能保證不必借助直觀而純粹邏輯推理的方法展開全部幾何學。

以下假定a,b,c為實數(real number)，加乘法的數學公理為:
1. a,b, s.t a+b=b+a
2. a,b,c, s.t (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,0, s.t a+0=a
4. a,-a, s.t a+(-a)=0
5. a,b, s.t a*b=b*a
6. a,b,c, s.t (a*b)*c=a*(b*c)
7. a,1, s.t a*1=a
8. a,b,c, s.t a*(b+c)=a*b+a*c
9. 10
10. a,b, exactly one of the three statements a < b , a = b , a > b holds
11. a,b,c, a < b & b < c a < c
12. a,b,c, a < b a+c < b+c
13. a,b,c, a < b & c > 0 ac < bc

歐幾里得公理

1. 各與同一個量相等的兩個量也相等。
2. 等量加等量其和也相等。
3. 等量減等量其差也相等。
4. 互相重合的量也相等。
5. 全量大於部份。

歐幾里得公設

1. 以每一點向另一點可引直線。
2. 有限的直線可以無限廷長。
3. 以任何點為圓心可用任何長度為半徑畫圓。
4. 所有的直角都相等。
5. 若兩直線和第三直線相交，且在同一側構成的兩個內角總和少於兩直角，則這兩直線在第三直線的這一側相交。

羅巴切夫斯基定理

1. 平行線間的距離不是固定的，而是向對平行的方向無限的接近。
2. 對於同一直線的垂線和斜線不一定相交。
3. 兩條不相交的直線被第三條直線所截，同位角不一定相等。
4. 三角形的高不一定相交。
5. 對於不在同一直線上的三點，不一定能作一個圓。
6. 三角形三內角之和少於二直角。
7. 不存在相似而不全等的三角形。
8. 不存在佢形。

黎曼(1826-1866)

1. 位意兩直線必相文於一點。
2. 三角形的內角之和大於二直角。
3. 黎氏幾何三角形有和球面三角形完全一樣的面積公式。
4. 黎氏平面整個有一個有限的面積，這個平面雖無邊界但又不是無限大的平面。
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